CAL-P: Nota Applicativa

La validità dei risultati nelle misurazioni di campo elettromagnetico ambientale (sia la componente elettrica o magnetica, sia la densità di potenza) dipende non solo dalla taratura periodica (annuale o biennale) dei sensori, ma anche dal mantenimento delle loro prestazioni tra una taratura e l’altra.

Come indicato dalla linea guida ISO/IEC 17025 (cap. 6 e 7) e in ILAC G24 (“Guidelines for the determination of calibration intervals of measuring instruments”), è fondamentale implementare verifiche intermedie per confermare lo stato di taratura della strumentazione.

Questo è particolarmente critico per sonde broadband e antenne selettive, soggette a stress meccanici, invecchiamento dei componenti e variazioni ambientali durante le attività di misura in esterno, oltre ad eventuali potenziali rotture durante le campagne di misura.

Le verifiche intermedie sono molto spesso disattese e, quando effettuate, vengono principalmente gestite con limitata consapevolezza dell’affidabilità del metodo utilizzato.

Questo documento intende valutare l’affidabilità del sistema di verifica CAL-P in modo da rendere evidente la sua ripetibilità e affidabilità, indicandone principalmente l’incertezza di misura.

2. Sistema CAL-P

Come meglio dettagliato nel datasheet del sistema CAL-P, le verifiche suddette si possono effettuare in modo autonomo e ripetibile grazie a una “camera RF schermata” (Jig) e a un generatore di segnale integrato.

Possiamo adottare due distinti procedimenti che in questo contesto chiameremo V-dedicate e V-statistic.

V-dedicate: la sonda, dopo aver effettuato la taratura cadenzata secondo i piani di taratura o subito dopo l’acquisto, viene inserita nella camera Jig e viene effettuata una misurazione che viene adottata a riferimento. Per ciascuna frequenza scelta in questa fase si legge il valore di campo e si associa un valore di “errore” massimo ammesso. Il limite di accettazione impostato per ciascuna frequenza deve essere commisurato all’incertezza della verifica quantificata nel presente documento (vedere par. 4).

Successivamente, secondo il piano temporale di verifiche intermedie o quando si hanno dei dubbi sul funzionamento stesso della sonda/antenna, la sonda viene ri-misurata dal sistema CAL-P alle stesse frequenze e la curva attuale viene confrontata con quella di riferimento: se lo scostamento, frequenza per frequenza, rientra nel limite impostato, il sistema restituisce PASS, altrimenti FAIL.

Il confronto viene effettuato per tutte le frequenze definite in fase di acquisizione della curva del riferimento.

V-statistic: sfruttando un’analisi statistica predefinita in funzione del particolare modello della sonda sotto test, la fase di ri-lettura che conferma o meno la verifica intermedia, viene in pratica confrontata con la fascia di popolazione del modello.

Adottando tale metodologia si ha oltre ad un vantaggio pratico, evitando la curva di riferimento per ogni sonda che si deve verificare, anche la conferma della compatibilità della sonda con la popolazione del suo modello. Ciò è significativo perché si ha una base comune di verifica.

Ad esempio, per un ente di controllo che fa misure ambientali e dispone di più sonde dello stesso modello tale metodo permette di avere un efficace e non empirico controllo sull’intero parco sonde.

Allo stato attuale la caratterizzazione statistica è disponibile per la sonda EP745 (campione di 9 esemplari), e in particolare sono state adottate le frequenze di 500 MHz, 1750 MHz e 3 GHz.

Le tre frequenze sono state selezionate da MPB secondo un criterio “trade-off” tra: minore variabilità al variare del numero di serie del modello, stabilità nella ripetibilità e copertura delle bande di frequenza maggiormente presenti in ambiente.

Anche in questo caso viene adottato un criterio PASS/FAIL, che in pratica tiene conto dell’ampiezza della fascia di accettazione (vedasi par.4).

In ambo le modalità la ripetibilità del posizionamento, a seconda della particolare sonda/antenna sotto test, è assicurata da specifici punti di riferimento geometrici del particolare Jig in dotazione.

Si rimanda al datasheet del sistema per una maggiore comprensione del funzionamento. Si vuole invece qui analizzare e quantificare l’incertezza della misurazione nelle due modalità di verifica.

3. Valutazione dell’incertezza secondo JCGM 100:2008 (GUM)

Si vogliono qui analizzare i vari contributi che compongono l’incertezza nell’uso del sistema CAL-P, procedendo all’analisi dell’incertezza composta secondo l’approccio della GUM (JCGM 100:2008).

Si considera l’incertezza nella ripetibilità sia del posizionamento della stessa sonda nel sistema Jig e sia nella misura del valore di campo elettromagnetico effettuato su un campione di sonde stesso modello oltre all’incertezza sulla stabilità nel tempo del generatore di segnale che fa parte del sistema CAL-P e sulla sua riproducibilità.

3.1 Incertezza di Tipo A

Il contributo deriva dalla variabilità statistica osservata durante le prove ripetute e si valuta, per ogni frequenza prestabilita f_i, a partire dalla serie di N letture acquisite nelle medesime condizioni. La logica vale sia per le misure ripetute di N sonde stesso modello (V-Statistic), sia per la ripetibilità del posizionamento della singola sonda.

Si calcola il valore medio delle N misure:

Lo scarto tipo della media (1σ):

u_x̄ è l'incertezza con cui è noto il valor medio, di un fattore √N più piccola della dispersione della singola lettura.

Per il passaggio successivo in dB (cfr. Appendice A) è comodo esprimere il contributo in forma relativa:

Tale contributo è stato valutato sia per la ripetibilità del posizionamento della sonda nel Jig, sia per le misure effettuate sul campione di sonde stesso modello.

3.1.1 Ripetibilità nel posizionamento

Grazie al fissaggio guidato della sonda nel Jig e dalle conferme sperimentali (20 cicli di inserimento/estrazione) si è potuto ottenere una incertezza u__pos (1σ)

u__pos = 0,08 dB (circa 1% - vedasi Appendice A).

3.1.2 Misure ripetute di N sonde stesso modello

Tale valutazione è indicativa su una famiglia di sonde della Narda e in particolare il modello EP745. Tale valutazione potrà subire delle modifiche numeriche a seconda della “stabilità” della popolazione del modello che si vuole statisticamente caratterizzare.

Dalle conferme sperimentali effettuate su 9 sonde EP745 si è potuto ottenere, come massimo, nelle tre frequenze prescelte (0,16 dB a 500 MHz, 0,27 dB a 1750 MHz, 0,23 dB a 3 GHz) una incertezza tipo A pari allo scarto tipo della media.

u__{mod_max} = 0,27 dB

3.1.3 Incertezza dovuta alla riproducibilità del generatore RF

Possiamo considerare un contributo dovuto alla riproducibilità nella realizzazione del generatore RF adottando un contributo di incertezza di tipo A calcolato su 4 misure. Il contributo u__{gen_reproducibility}.

u__{gen_reproducibility} = 0,1 dB

Si estenderà tale statistica ampiando le misure su più lotti di produzione, le cui analisi statistiche permetteranno una migliore stima.

E’ da notare che in questo caso, essendo il numero di misure relativamente basso, si è preferito adottare un approccio bayesiano (cfr. Appendice B).

3.2 Incertezza di Tipo B (Stabilità del Generatore)

Il contributo dovuto alla stabilità nel tempo del generatore RF di segnale è stato valutato dalle specifiche tecniche dell’elettronica impiegata e in via cautelativa si è adottato una distribuzione di probabilità rettangolare di semiapiezza a=0,15 dB, ottenendo un contributo di incertezza

3.3 Incertezza composta

L’incertezza standard combinata viene ottenuta combinando in quadratura i contributi di Tipo A e di Tipo B:

Nella modalità V-dedicate la verifica è un confronto differenziale con il riferimento acquisito nello stesso Jig e con lo stesso generatore, quindi, restano a bilancio solo la stabilità del generatore e la ripetibilità di posizionamento.

Nella modalità V-statistic il contributo Tipo A dominante è lo scarto tipo della media della curva di riferimento (N = 9, ν = 8). Il contributo di riproducibilità del generatore RF con Jig viene trattato con l’approccio bayesiano (cfr. Appendice B) e lo si moltiplica per il fattore √[(N−1)/(N−3)] = √3 ottenendo 0,1 × √3 ≈ 0,17 dB. Applicato tale fattore, tutti i contributi si combinano in quadratura e si adotta direttamente k = 2, senza ricorrere al calcolo dei gradi di libertà effettivi (Welch–Satterthwaite).

Nella modalità V-dedicate, essendo il confronto differenziale, la riproducibilità del generatore e la variabilità sullo stesso modello non devono essere presi in considerazione e i contributi dominanti hanno ν elevato, per cui k = 2 è direttamente applicabile.

Nota (*) La componente di riproducibilità è stata maggiorata secondo l'approccio bayesiano (x √3), rendendola equivalente a una stima con ν → ∞. I gradi di libertà effettivi risultanti per la modalità V-statistic (ν_eff ≈ 20, calcolati con l'equazione di Welch-Satterthwaite) forniscono un fattore t _0.95 ≈ 2,09, del tutto equivalente all'adozione diretta di k = 2 per l'arrotondamento finale a 0,7 dB.

4. Criteri di accettazione e regole decisionali

Il limite di scostamento impostato in fase di acquisizione del riferimento (modalità V-dedicate) o la fascia di accettazione statistica (modalità V-statistic) hanno senso solo se commisurati all’incertezza della verifica (ILAC-G8, ISO 14253-1).

La raccomandazione pratica è che il limite L sia almeno pari a 2–3 volte l’incertezza estesa U della verifica: con i valori ipotizzati per la modalità V-dedicate (U ≈ 0,24 dB), limiti dell’ordine di 0,5–0,7 dB garantiscono un rischio decisionale contenuto in regime di accettazione semplice.

Analogamente, per la modalità V-statistic (U ≈ 0,7 dB) un fattore di 2,5 volte porta a un limite dell’ordine di 1,75 dB.

In alternativa è possibile adottare una banda di guardia esplicita (PASS se Δ ≤ L − U).

5. Conclusioni

Il metodo V-dedicate risulta metrologicamente migliore: la natura differenziale del confronto con la curva di riferimento cancella gli effetti sistematici e l’incertezza estesa si limita a circa 0,24 dB. Richiede però l’acquisizione della curva di riferimento subito dopo ogni taratura.

Il metodo V-statistic è operativamente più efficiente: non richiede l’acquisizione di una curva di riferimento dedicata per ogni sonda, ma confronta la lettura con la fascia di popolazione del modello, consentendo un controllo sistematico e non empirico dell’intero parco sonde. L’incertezza estesa è però maggiore (circa 0,7 dB), in quanto il bilancio include anche la variabilità tra esemplari dello stesso modello e la riproducibilità del generatore. Va inoltre tenuto presente che esso conferma la compatibilità della sonda con la popolazione del suo modello.

Appendice A — Calcolo di propagazione degli “errori” da % a dB

A.1 Premessa

Se si ha una incertezza U (a 2σ per esempio) espressa in %, per passare ai logaritmi (es.: dB) non si può — ovviamente — applicare la formula di conversione come fosse un semplice valore. Al valore di incertezza è infatti associata una distribuzione di probabilità con un fattore di copertura: ossia è un valore probabilistico. Per questo va applicata la legge di propagazione delle incertezze (GUM, cap. 5) alla trasformazione % → dB.

A.2 Modello e coefficiente di sensibilità

Il modello della trasformazione, considerando il valore percentuale già normato a 1, si può scrivere come:

y = 20 · log₁₀(x)

Al modello vanno applicate le derivate parziali — in questo caso la semplice derivata, in quanto c’è una sola variabile aleatoria che concorre a determinare il valore in dB. Il coefficiente di sensibilità c₁ è quindi:

Richiami utili: per il cambio di base dei logaritmi vale log_m(a) = ln(a)/ln(b), ossia log₁₀(x) = ln(x)/ln(10); la derivata del logaritmo naturale è 1/x.

A.3 Incertezza combinata

Applicando la legge di propagazione, l’incertezza combinata risulta:

Ma essendo u(x)/x l’incertezza relativa — che nei nostri casi è espressa in % ed è relativa al valore — possiamo concludere:

A.4 Esempio

Supponendo di aver fatto una misura in tensione di 3 V con incertezza relativa 10% (distribuzione normale, 2σ), è come avere una incertezza di:

 [20 · (10/100)] / ln(10) = 0,869 dB 

A.5 Due mondi distinti: valori di misura e incertezze

È importante non confondere due piani concettualmente diversi.

I valori di misura e gli scostamenti — sempre valori medi o stimati, cioè numeri deterministici — si convertono con le formule dirette di trasformazione:

Per le grandezze di campo (V/m, A/m):

Per le grandezze di potenza (W/m²):

Le incertezze associate sono invece valori probabilistici — portano con sé una distribuzione di probabilità e un fattore di copertura — e si convertono esclusivamente con la legge di propagazione ricavata al §A.3:

Per le grandezze di campo (V/m, A/m):

Per le grandezze di potenza (W/m²):

Applicare per errore le formule di conversione dei valori alle incertezze produce scarti numericamente contenuti quando le incertezze sono piccole, e via via più rilevanti al crescere dell’incertezza; ma il punto non è l’entità dell’errore. Una cosa è il valore delle misurazioni o degli scostamenti, un’altra è l’incertezza a essi associata: sono due mondi diversi, e ciascuno ha la propria formula di conversione.

Appendice B — Gradi di libertà effettivi e fattore di copertura: WS-t (GUM classica) e alternativa bayesiana

Per determinare il fattore di copertura al livello di confidenza tipico del 95% occorre tenere conto dei gradi di libertà dei contributi. Quando il bilancio combina contributi di Tipo A (gradi di libertà finiti) e di Tipo B (gradi di libertà infiniti), la GUM (Annex G) prescrive il calcolo dei gradi di libertà effettivi mediante la formula di Welch–Satterthwaite (WS-t):

con determinazione del fattore di copertura dalla distribuzione t di Student. 

Per ν = 1 il fattore vale 12,7 e per ν = 2 vale 4,3; già a ν = 9 si scende a 2,26 e a ν = 30 si è praticamente a regime (2,04). Nella modalità V-dedicate, dove i contributi dominanti hanno ν → ∞, è direttamente applicabile k = 2 (Figura B.1).

 Figura B.1 — Fattore di copertura al 95% in funzione dei gradi di libertà ν (scala verticale logaritmica). 

Con campioni piccoli — nella modalità V-statistic es N = 4, ν = 3 — il fattore t cresce rapidamente e l’incertezza estesa può diventare non monotona: come documentato in letteratura (Ballico 2000; Huang 2018), può accadere che una misura intrinsecamente più precisa risulti con incertezza estesa maggiore — il cosiddetto «paradosso di Ballico» (uncertainty paradox), un esito non giustificato dalla fisica della misura.

È il limite noto dell’approccio WS-t ai piccolissimi campioni; per questo, accanto al WS-t, la famiglia di documenti JCGM prevede un’alternativa bayesiana.

Alternativa bayesiana (JCGM 101:2008 e JCGM 102:2011)

La valutazione bayesiana di Tipo A non passa per il quantile della t ma per la deviazione standard della distribuzione a posteriori. Assegnando un prior non informativo a valore atteso e applicando il teorema di Bayes, la distribuzione a posteriori del valor medio è una t.

Nel caso scalare (Supplemento 1 alla GUM, JCGM 101:2008) l’incertezza tipo diventa:

Il fattore √[(N−1)/(N−3)] è la deviazione standard della t con ν = N−1 gradi di libertà; è definito solo per ν > 2, cioè N ≥ 4 (a N = 3 la varianza della t diverge). Applicato tale fattore, si combina in quadratura e si adotta k = 2.

La stessa impostazione bayesiana per il Tipo A è al centro della bozza di revisione della GUM (JCGM 100:201X), che ne fa il metodo di riferimento e affronta esplicitamente il caso con numero di misure inferiore a quattro. Un'ulteriore trattazione bayesiana è quella di Kacker (“Bayesian alternative to the ISO-GUM's use of the Welch–Satterthwaite formula”).

Tabella B.1 — Confronto concettuale WS-t vs Bayesiano

Tabella B.2 — Fattore di copertura efficace al 95% per un contributo di Tipo A

I due metodi sono entrambi fondati sulla t: il WS-t la usa attraverso il quantile, il bayesiano attraverso la sua deviazione standard. Numericamente danno risultati molto vicini (già a n = 6 la differenza è ∼ 0,4%, mentre a n = 9 scende a ∼ 0,15%) e convergono al crescere di n. La differenza pratica emerge ai piccoli campioni, dove il bayesiano è definito solo per n ≥ 4 mentre il WS-t resta definito ma cresce rapidamente.

Bibliografia

• JCGM 100:2008 — Evaluation of measurement data — Guide to the expression of uncertainty in measurement (GUM).
• JCGM 101:2008 — Supplemento 1 alla GUM — Propagation of distributions using a Monte Carlo method (valutazione bayesiana di Tipo A, distribuzione t scalare).
• JCGM 100:201X — Bozza di revisione della GUM (committee draft) — approccio bayesiano per il Tipo A, incluso il caso n < 4.
• ISO/IEC 17025:2017 — Requisiti generali per la competenza dei laboratori di prova e taratura (cap. 6 e 7).
• ILAC G24 — Guidelines for the determination of calibration intervals of measuring instruments.
• ILAC-G8 — Guidelines on decision rules and statements of conformity.
• EURAMET cg-12 — Appendice J (conversioni dB / lineare / percentuale).
• M. Ballico, “Limitations of the Welch–Satterthwaite approximation for measurement uncertainty calculations”, Metrologia 37, 61–64 (2000).
• Huang H. (2016/2018), Uncertainty estimation with a small number of measurements, Measurement Science and Technology / Cal Lab.
• R. N. Kacker, “Bayesian alternative to the ISO-GUM's use of the Welch–Satterthwaite formula”.